5.
Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, inscrito no elipsoide \(9x^2 + 36y^2 + 4z^2 = 36\text{.}\) Justifique a existência de solução.
Dica.
Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para estudar a função volume sujeita à condição \(9x^2 + 36y^2 + 4z^2 =
36\text{.}\)
Resposta.
Os vértices do paralelepípedo procurado são os pontos \(\big( \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}, \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \pm
\sqrt{3}\big)\text{.}\)
Solução.
Considere um paralelepípedo inscrito no elipsoide \(9x^2 +
36y^2 + 4z^2 = 36\) com faces paralelas aos planos coordenados. Se \((x,y,z)\) é o vértice pertencente ao primeiro octante, então as dimensões do paralelepípedo são \(2x\text{,}\) \(2y\) e \(2z\text{,}\) de modo que seu volume é igual a
\begin{equation*}
V(x,y,z) = 8xyz.
\end{equation*}
Isto sugere estudar a função \(V\) sujeita à condição \(9x^2 + 36y^2 + 4z^2 =
36\text{.}\) Vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange (Teorema A.9.7) e, depois, mostrar que o resultado obtido é, de fato, solução do problema. Observamos apenas que \(V\) é contínua e o elipsoide é compacto; de acordo com o Teorema de Weierstrass (Teorema A.9.2), \(V\) possui máximo e mínimo neste elipsoide.
Escrevendo \(g(x,y,z) = 9x^2 + 36y^2 + 4z^2 = 36\text{,}\) temos
\begin{equation*}
\nabla g(x,y,z) = 2(9x,36y,4z),
\end{equation*}
que se anula apenas na origem. Assim, os candidatos a máximos e mínimos de \(V\) são as soluções de
\begin{equation*}
\begin{cases}
\big\{\nabla V(x,y,z), \nabla
g(x,y,z)\big\}\text{ é linearmente dependente},\\
9x^2 + 36y^2 +4z^2 = 36.
\end{cases}
\end{equation*}
A primeira condição equivale a
\begin{align*}
\nabla V(x,y,z) \times \nabla g(x&,y,z) = (0,0,0)\\
&\iff
(4x(z^2 - 9y^2), y(9x^2 - 4z^2), 9z(4y^2 -x^2)) =
(0,0,0)\\
&\iff \begin{cases}
x=0\text{ ou }z=\pm 3y,\\
y=0\text{ ou }3x=\pm 2z,\\
z=0\text{ ou }x=\pm2 y.
\end{cases}
\end{align*}
Nas soluções \((x,y,z)\) do sistema acima com pelo menos uma das coordendas nulas temos \(V(x,y,z)=0\text{.}\)
Resta então o caso em que \(z=\pm 3y\) e \(3x=\pm 2z\text{,}\) com \(xyz\neq 0\text{.}\) Substituindo estas equações em \(9x^2 +
36y^2 + 4z^2 = 36\text{,}\) obtemos \(108y^2 = 36\text{,}\) de modo que \(y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\text{.}\) Os candidatos são os (oito) pontos \(\Big(\pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}, \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}},
\pm\sqrt{3}\Big)\text{,}\) onde \(V\) vale \(\dfrac{16}{\sqrt{3}}\) ou \(-\dfrac{16}{\sqrt{3}}\text{,}\) de acordo com os sinais das coordenadas.
Para verificar que os pontos \(\Big( \pm
\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \pm
\sqrt{3}\Big)\) são os vértices do paralelepípedo de volume máximo satisfazendo as condições do enunciado, basta notar que a função contínua \(|V|\) atinge seu valor máximo precisamente nestes pontos.
