Cálculo de Limites

Seção A.3 Cálculo de Limites

Apresentamos a seguir os principais resultados para o cálculo de limites. Ao final apresentamos a conexão entre o cálculo de limites e continuidade num ponto.

Proposição A.3.1. (Limite da composta).

Sejam \(f\colon I\subseteq\R\to\R\text{,}\) contínua em \(L\in I\) e \(g\colon A\subseteq\R^r\to\R\text{,}\) tal que \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)=L\text{.}\) Então

\begin{equation*} \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f\big(g(x,y)\big)=f\Big(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}g(x,y)\Big)=f(L)\text{.} \end{equation*}

Nota A.3.2.

Este é o resultado que permite "passar o limite para dentro" de uma função contínua.

Demonstração.

Junte os ingredientes:

\(f\) contínua em \(L\in I\) diz que, dado \(\epsilon>0\text{,}\) existe \(\delta_1>0\) tal que
\begin{equation} |x-L|<\delta_1\implies |f(x)-f(L)|<\epsilon.\tag{A.3.1} \end{equation}
\(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)=L\) diz que, dado \(\epsilon_2>0\text{,}\) existe \(\delta_2>0\) tal que
\begin{equation} 0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta_2 \implies |g(x,y)-L|<\epsilon_2.\tag{A.3.2} \end{equation}

Dado \(\epsilon>0\text{,}\) aplicando \(\delta_1\) dado por (A.3.1) como \(\epsilon_2\) em (A.3.2) temos que

\begin{equation*} 0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta_2 \implies |g(x,y)-L|<\delta_1\implies |f(x)-f(L)|<\epsilon, \end{equation*}

ou seja, \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f\big(g(x,y)\big)=f(L)\text{.}\)

Exemplo A.3.3.

Calcule, caso exista, \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\text{.}\)

Solução.

Considere \(f(t)=\begin{cases} \dfrac{\sin t}{t},& t\neq 0\\ \hfill 1,& t=0\end{cases}\) e \(g(x,y)=x^2+y^2\text{.}\) Claramente, para todo \((x,y)\neq (0,0)\text{,}\) \(\dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=f\big(g(x,y)\big)\text{.}\) Como \(f\) é contínua em \(t=0\) (limite trigonométrico fundamental) e \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=0\text{,}\) temos

\begin{equation*} \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f\big(g(x,y)\big)=f\Big(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)\Big)=f(0)=1. \end{equation*}

Teorema A.3.4. (Confronto).

Sejam \(f,g,h\colon A\subseteq\R^2\to\R\) funções tais que \(g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\) para todo \((x,y)\in A\text{.}\) Se \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)=\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} h(x,y)=L\in\R\text{,}\) então \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L\text{.}\)

Demonstração.

Basta escrever a definição de limite:

\(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)=L\in\R\) significa que dado \(\epsilon>0\text{,}\) existe \(\delta_1>0\) tal que

\begin{equation*} 0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta_1 \implies |g(x,y)-L|<\epsilon \end{equation*}

e \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} h(x,y)=L\in\R\) significa que dado \(\epsilon>0\text{,}\) existe \(\delta_2>0\) tal que

\begin{equation*} 0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta_2 \implies |h(x,y)-L|<\epsilon\text{.} \end{equation*}

Para cada \(\epsilon>0\text{,}\) tome \(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\text{.}\) Para todo \((x,y)\in\R^2\) tal que \(\|(x,y)-(x_0,y_0)\|< \delta\text{,}\) "abrindo os módulos" e usando as desigualdades da hipótese, temos que

\begin{equation*} -\epsilon<g(x,y)-L<f(x,y)-L<h(x,y)-L<\epsilon\implies |f(x,y)-L|<\epsilon\text{,} \end{equation*}

ou seja, \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L\text{.}\)

Definição A.3.5. (Função Limitada).

Uma função \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) é limitada, se existe \(M\in\R\) tal que \(|f(x,y)|< M\text{,}\) para todo \((x,y)\in A\text{.}\)

Veja alguns exemplos de funções limitadas no vídeo abaixo.

Figura A.3.6. Funções limitadas (até 10m30s).

Corolário A.3.7. (Limitada \(\times\) Tende a zero).

Sejam \(f,g\colon A\subseteq\R^2\to\R\) funções tais que \(f\) é limitada e \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)=0\text{.}\) Então \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)\, g(x,y)=0\text{.}\)

Demonstração.

Como \(f\) é limitada, existe \(M> 0\) tal que \(|f(x,y)|< M\text{.}\) Multiplicando por \(|g(x,y)|\text{,}\) temos \(|f(x,y)\, g(x,y)|< M|g(x,y)|\text{,}\) ou seja,

\begin{equation*} -M|g(x,y)|< f(x,y)\, g(x,y)< M|g(x,y)|\text{.} \end{equation*}

Usando a Proposição A.3.1, temos que \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \pm M|g(x,y)|=\pm M|\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)|=0\text{.}\) Logo, \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)\, g(x,y)=0\text{.}\)

Teorema A.3.8.

Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função tal que \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L\in\R\) e \(\gamma\colon I\subseteq\R\to\R^2\) uma curva contínua tal que \(\lim\limits_{t\to t_0}\gamma(t)=(x_0,y_0)\text{.}\) Então \(\lim\limits_{t\to t_0} f\big(\gamma(t)\big)=L\text{.}\)

Nota A.3.9.

Este teorema é bem mais interessante na contra-positiva: se existem duas curvas \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) nas condições do enunciado tais que

\(\lim\limits_{t\to t_0} f\big(\gamma_1(t)\big)\neq\lim\limits_{t\to t_0} f\big(\gamma_2(t)\big)\text{,}\) ou
\(\lim\limits_{t\to t_0} f\big(\gamma_1(t)\big)\) não existe

então \(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)\) não existe.

Demonstração.

Mais uma vez, junte os ingredientes:

\(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L\) diz que, dado \(\epsilon>0\text{,}\) existe \(\delta_1>0\) tal que
\begin{equation} 0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta_1\implies |f(x,y)-L|<\epsilon.\tag{A.3.3} \end{equation}
\(\lim\limits_{t\to t_0} \gamma(t)=(x_0,y_0)\) diz que, dado \(\epsilon_2>0\text{,}\) existe \(\delta_2>0\) tal que
\begin{equation} 0<|t-t_0|<\delta_2\implies \|\gamma(t)-(x_0,y_0)\|<\epsilon_2.\tag{A.3.4} \end{equation}

Como antes, dado \(\epsilon>0\text{,}\) use \(\delta_1\) dado em (A.3.3) como \(\epsilon_2\) em (A.3.4) e então

\begin{equation*} 0<|t-t_0|<\delta_2\implies \|\gamma(t)-(x_0,y_0)\|< \delta_1\implies |f\big(\gamma(t)\big)-L|<\epsilon, \end{equation*}

ou seja, \(\lim\limits_{t\to t_0} f\big(\gamma(t)\big)=L\text{.}\)

Teorema A.3.10. (Limite e Continuidade).

Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função e \((x_0,y_0)\in A\text{.}\) Então \(f\) é contínua em \((x_0,y_0)\) se, e somente se,

\begin{equation*} \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0). \end{equation*}

Demonstração.

É realmente uma consequência direta das definições de limite e continuidade.

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