3.b.
Determine o valor máximo e o valor mínimo de \(f(x,y,z) =
x^2 + y^2 +2z^2 -4xy -4z + 3x\) na região \(R = \big\{(x,y,z)
\in \R^3\colon x+y+z \leq 4, x\geq 0, y\geq 0\text{ e }
z\geq0\big\}\text{.}\)
Dica.
Divida a análise em três etapas: no interior de \(R\text{,}\) nas faces de \(R\) (excluídas as arestas) e nas arestas (atenção aos vértices!).
Resposta.
O valor máximo de \(f\) é \(28\) e o valor mínimo de \(f\) é \(-\dfrac{11}{4}\text{.}\)
Solução.
Note que \(f\) é contínua e \(R\) é um tetraedro sólido, fechado e limitado, portanto compacto. Deste modo o Teorema de Weierstrass (Teorema A.9.2) assegura que o problema proposto tem solução.
A análise será dividida em três etapas: encontraremos os candidatos no interior de \(R\text{,}\) no "interior" das faces de \(R\) (isto é, as faces com as arestas excluídas) e, finalmente, nas arestas de \(R\text{.}\) O motivo dessa análise "excluindo" essas "fronteiras", fica claro ao estudar a demonstração dos teoremas finais da Seção A.9 (Teorema A.9.7 e Teorema A.9.9).
Ao trabalho:
- Candidatos no interior de \(R\text{:}\) o interior de \(R\) é o conjunto (aberto)\begin{equation*} \text{int}(R) = \big\{(x,y,z) \in \R^3\colon x+y+z < 4, x> 0, y> 0\text{ e } z> 0\big\}. \end{equation*}Neste caso, usamos a versão para três variáveis (totalmente análoga) do Teorema A.8.4, concluindo que os candidatos são os pontos críticos de \(f\) neste conjunto. Como\begin{equation*} \nabla f(x,y,z) = (2x-4y+3, 2y-4x, 4z-4), \end{equation*}o único ponto crítico é \(\big(\dfrac{1}{2}, 1, 1\big)\text{.}\) Note que este ponto pertence a int\((R)\text{.}\)
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Candidatos nas faces (excluídas as arestas): procuramos os candidatos nos conjuntos\begin{align*} F_1 &= \big\{(x,y,z) \in \R^3\colon x+y+z = 4, x>0, y>0\text{ e } z>0\big\},\\ F_2 &= \big\{(x,y,z) \in \R^3\colon x+y+z < 4, x= 0, y> 0\text{ e } z> 0\big\},\\ F_3 &= \big\{(x,y,z) \in \R^3\colon x+y+z < 4, x> 0, y= 0\text{ e } z> 0\big\},\\ F_4 &= \big\{(x,y,z) \in \R^3\colon x+y+z < 4, x> 0, y> 0\text{ e } z= 0\big\}. \end{align*}São as faces de \(R\text{,}\) excluídas as arestas. Em cada face, vamos "eliminar" uma das variáveis e reduzir o problema ao estudo de funções de duas variáveis em abertos de \(\R^2\text{.}\) Outra abordagem possível seria usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange (Teorema A.9.7), o qual foi utilizado no Exercício 1.12.5.Na face \(F_1\text{,}\) podemos escrever \(z = 4 - x - y\) e estudar a função\begin{equation*} g_1(x,y) = f(x,y,4-x-y) = 3x^2 + 3y^2 -9x -12y +16 \end{equation*}no aberto\begin{equation*} U_1 = \big\{ (x,y) \in \R^2\colon x+ y<4, x >0\text{ e } y>0\big\}. \end{equation*}Como\begin{equation*} \nabla g_1(x,y) = (6x-9, 6y-12), \end{equation*}o ponto \(\Big( \dfrac{3}{2}, 2\Big) \in U_1\) é o único ponto crítico de \(g_1\text{.}\) Este ponto corresponde ao candidato \(\Big( \dfrac{3}{2}, 2, \dfrac{1}{2}\Big) \in F_1\text{.}\)Na face \(F_2\text{,}\) temos \(x=0\) e estudamos a função\begin{equation*} g_2(y,z) = f(0,y,z) = y^2 + 2z^2 -4z \end{equation*}no aberto\begin{equation*} U_2 = \big\{ (y,z) \in \R^2\colon y+z < 4, y > 0\text{ e } z>0\big\}. \end{equation*}Como\begin{equation*} \nabla g_2(y,z) = (2y,4z-4), \end{equation*}o único ponto crítico de \(g_2\) é \((0,1)\text{,}\) que não pertence a \(U_2\text{.}\) Deste modo, não há candidatos em \(F_2\text{.}\)Em \(F_3\text{,}\) obtemos a função\begin{equation*} g_3(x,z) = f(x,0,z) = x^2 + 2z^2 -4z + 3x \end{equation*}no aberto\begin{equation*} U_3 = \big\{ (x,z) \in \R^2\colon x+z < 4, x > 0\text{ e } z>0\big\}. \end{equation*}O gradiente de \(g_3\)\begin{equation*} \nabla g_3(x,z) = (2x+3,4z-4) \end{equation*}se anula apenas no ponto \(\Big( -\dfrac{3}{2}, 1\Big)\text{,}\) que não pertence a \(U_3\text{.}\) Também não temos candidatos em \(F_3\text{.}\)Finalmente, em \(F_4\text{,}\) analisamos\begin{equation*} g_4(x,y)=f(x,y,0) = x^2 + y^2 -4xy+3x \end{equation*}no aberto\begin{equation*} U_4 = \big\{(x,y)\in\R^2\colon x+y < 4, x>0\text{ e }y> 0\big\}=U_1. \end{equation*}Como\begin{equation*} \nabla g_4(x,y) = (2x-4y+3, 2y-4x), \end{equation*}o único ponto crítico de \(g_4\) é o ponto \(\Big(\dfrac{1}{2},1\Big) \in U_4\text{,}\) que corresponde ao candidato \(\Big( \dfrac{1}{2}, 1, 0\Big) \in F_4\text{.}\)Isto completa a busca dos candidatos nas faces de \(R\text{.}\)
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Candidatos nas arestas de \(R\text{:}\) as arestas de \(R\) são os segmentos de reta\begin{align*} A_1 &= \big\{(x,y,z) \in \R^3\colon y=z=0\text{ e } 0 \leq x \leq 4\big\},\\ A_2 &= \big\{(x,y,z) \in \R^3\colon x=z=0\text{ e } 0 \leq y \leq 4\big\},\\ A_3 &= \big\{(x,y,z) \in \R^3\colon x=y=0\text{ e } 0 \leq z \leq 4\big\},\\ A_4 &= \{(x,y,z) \in \R^3\colon z=0\text{ e } x+y=4\big\},\\ A_5 &= \{(x,y,z) \in \R^3\colon y=0\text{ e } x+z=4\big\},\\ A_6 &= \{(x,y,z) \in \R^3\colon x=0\text{ e } y+z=4\big\}. \end{align*}A estratégia é parametrizar cada aresta a estudar a composta de \(f\) com as parametrizações. Poderíamos aqui aplicar o Método dos Multiplicadores de Lagrange (Teorema A.9.9), como fizemos no Exercício 1.11.4.b.Em \(A_1\text{,}\) consideramos\begin{equation*} h_1(x) = f(x,0,0) = x^2 + 3x, x \in [0,4]. \end{equation*}A derivada de \(h_1\) se anula somente em \(x=-\frac{3}{2}\text{,}\) de modo que não há candidatos em \(]0,4[\text{.}\) Ficamos apenas com \(x=0\) e \(x=4\text{,}\) que correspondem aos vértices \((0,0,0)\) e \((4,0,0)\) de \(R\text{.}\)Em \(A_2\text{,}\) estudamos\begin{equation*} h_2(y) = f(0,y,0) = y^2, y \in [0,4]. \end{equation*}Como \(h_2\) é estritamente crescente, os candidatos são \(y=0\) e \(y=4\text{,}\) que correspondem aos vértices \((0,0,0)\) e \((0,4,0)\text{.}\)Em \(A_3\text{,}\) obtemos\begin{equation*} h_3(z) = 2z^2 -4z, z \in [0,4], \end{equation*}cuja derivada se anula em \(z=1\text{.}\) Os candidatos são \(z=0\text{,}\) \(z=1\) e \(z=4\text{,}\) que correspondem, respectivamente, a \((0,0,0)\text{,}\) \((0,0,1)\) e \((0,0,4)\text{.}\)Em \(A_4\text{,}\) podemos escrever \(y=4-x\) para obter\begin{equation*} h_4(x) = f(x,4-x,0) = 6x^2 -21x + 16, x \in [0,4]. \end{equation*}O único ponto crítico de \(h_4\) é \(x=\dfrac{7}{4} \in ]0,4[\text{.}\) Os candidatos são \(x=0\text{,}\) \(x= \dfrac{7}{4}\) e \(x=4\text{,}\) que correspondem a \((0,4,0)\text{,}\) \(\Big(\dfrac{7}{4}, \dfrac{9}{4}, 0\Big)\) e \((4, 0, 0)\text{.}\)Em \(A_5\text{,}\) fazemos \(z=4-x\) e estudamos\begin{equation*} h_5(x) = f(x,0,4-x) = 3x^2 -9x+16, x \in [0,4]. \end{equation*}O único ponto crítico de \(h_5\) é \(x=\dfrac{3}{2} \in ]0,4[\text{.}\) Os candidatos são \(x=0\text{,}\) \(x= \dfrac{3}{2}\) e \(x=4\text{,}\) que correspondem a \((0,0,4)\text{,}\) \(\Big( \dfrac{3}{2},0, \dfrac{5}{2}\Big)(4, 0, 0)\text{.}\)Finalmente, em \(A_6\text{,}\) escrevemos \(z=4-y\) e\begin{equation*} h_6(y) = f(0,y,4-y) = 3y^2 -12y+16, y \in [0,4]. \end{equation*}O único ponto crítico de \(h_6\) é \(y=2\in ]0,4[\text{.}\) Os candidatos são \(y=0\text{,}\) \(y= 2\) e \(y=4\text{,}\) que correspondem a \((0,0,4)\text{,}\) \((0, 2,2)\) e \((0, 4, 0)\text{.}\)
- Avaliando \(f\) em cada candidato: só resta calcular \(f\) nos pontos encontrados nas etapas anteriores e comparar os valores. Confira as contas!\begin{align*} f( 1/2, 1, 1) &= -5/4\\ f( {3}/{2}, 2,{1}/{2}) &= -{11}/{4}\\ f( {1}/{2}, 1, 0) &= {3}/{4}\\ f\left( 0,0,0\right) &= 0\\ f\left(4, 0, 0\right) &= 28\\ f\left( 0,4,0\right) &= 16\\ f\left( 0,0,4 \right) &= 16\\ f\left( 0, 0, 1\right) &= -2\\ f\left( {7}/{4}, {9}/{4}, 0\right) &= -{19}/{8}\\ f\left( {3}/{2}, 0, {5}/{2}\right) &= {37}/{4}\\ f\left( 0, 2, 2\right) &= 4 \end{align*}
Logo, o maior valor de \(f\) em \(R\) é \(28\) e o menor valor é \(-\frac{11}{4}\text{.}\)
