1.
Considere a função \(f\colon\R^2\to\R\) dada por
\begin{equation*}
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{x^{4/3}\sin(x^2)}{x^2+y^4},&\text{ se } (x,y) \neq (0,0),\\
\hfill 0,&\text{ se } (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\end{equation*}
- Calcule as derivadas parciais de \(f\) em todos os pontos onde elas existirem.
- Decida se \(f\) é diferenciável em \((0,0)\text{.}\)
- Calcule \(\dfrac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,0)\) sendo \(\vec{u} =(a,b)\) um vetor unitário.
Resposta.
- \(f_x(x,y)= \begin{cases} 2\sqrt[3]{x}\dfrac{\Big(\frac{2}{3}\sin(x^2)+x^2\cos(x^2)\Big) (x^2+y^4)-x^2\sin(x^2)}{(x^2+y^4)^2},&\text{ se } (x,y) \neq (0,0),\\ \hfill 0,&\text{ se } (x,y)=(0,0). \end{cases}\) e \(f_y(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{4/3}\sin(x^2)}{x^2+y^4},&\text{ se } (x,y) \neq (0,0),\\ \hfill 0,&\text{ se } (x,y)=(0,0). \end{cases}\text{.}\)
- É diferenciável em \((0,0)\text{.}\)
- \(\dfrac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,0)=0\text{.}\)
Solução.
- O denominador da primeira expressão que define \(f\) se anula em \((0,0)\text{,}\) então não podemos usar as regras de derivação. Temos dois casos a tratar:
- \((x,y)\neq (0,0)\text{:}\) qualquer desses pontos admite uma vizinhança onde \(f\) é dada pelo quociente de duas funções diferenciáveis, com denominador não nulo. Podemos aplicar diretamente a regra do quociente para cada variável:\begin{align*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)& =2\sqrt[3]{x}\dfrac{\Big(\frac{2}{3}\sin(x^2)+x^2\cos(x^2)\Big) (x^2+y^4)-x^2\sin(x^2)}{(x^2+y^4)^2}\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) &=-\dfrac{4x^{4/3}\sin(x^2)y^3}{(x^2+y^4)^2} \end{align*}
- \((x,y)=(0,0)\text{:}\) não podemos aplicar a regra do quociente, utilizada no caso anterior. É preciso seguir pela Definição A.4.1:\begin{align*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) & =\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{h^{4/3}\sin(h^2)}{h^2+0^4}-0}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(h^2)}{h^{5/3}}=\lim\limits_{h\to 0}h^{1/3}\dfrac{\sin(h^2)}{h^2}=0.\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) & =\lim\limits_{k\to 0}\dfrac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{0^{4/3}\sin(0^2)}{0^2+k^4}-0}{k}\\ &=\lim\limits_{k\to 0}\dfrac{0}{k}=0. \end{align*}
-
Já que as derivadas parciais de \(f\) existem em \((0,0)\text{,}\) verificar sua diferenciabilidade nesse ponto requer o uso da definição, ou seja, verificar se existe e é nulo o limite\begin{align*} \lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}&\dfrac{f(0+h,0+k)-\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)h-f(0,0)-\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}\\ &=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}\dfrac{\dfrac{h^{4/3}\sin(h^2)}{h^2+k^4} -0-0\cdot h-0\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}}\\ &=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}h^{1/3}\dfrac{h}{\sqrt{h^2+k^2}} \dfrac{\sin(h^2)}{h^2+k^4}\\ &=\lim\limits_{(h,k)\to(0,0)}h^{1/3}\dfrac{h}{\sqrt{h^2+k^2}} \dfrac{\sin(h^2)}{h^2}\dfrac{h^2}{h^2+k^4}=0, \end{align*}pois o primeiro fator na expressão acima tende a \(0\text{,}\) enquanto o terceito vai a \(1\) e o demais fatores são todos limitados.Com isso mostramos que \(f\) é diferenciável na origem.
Nota 3.4.1.
Outra opção seria tentar verificar a continuidade das derivadas parciais, mas atenção: caso isso não aconteça ainda assim a função pode ser diferenciável (e não de classe \(\mathscr{C}^1\)). -
Em vista do item acima podemos usar a Proposição A.6.17, obtendo\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial\vec{u}}(0,0)=\Big\langle\nabla f(0,0),\vec{u}\Big\rangle=\big\langle(0,0),(a,b)\rangle=0. \end{equation*}Caso nenhum dos itens anteriores fosse resolvido, poderíamos proceder pela Definição A.6.15:\begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial\vec{u}}(0,0)&=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f\big((0,0)+t(a,b)\big)-f(0,0)}{t}\notag\\ &=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\dfrac{(at)^{4/3}\sin\big((at)^2\big)}{(at)^2+(bt)^4}}{t}\tag{†} \end{align}Se \(a=0\) então a expressão no limite acima é identicamente nula e temos \(\dfrac{\partial f}{\partial\vec{u}}(0,0)=0\text{.}\) Se \(a\neq 0\text{,}\) então podemos escrever (†) como\begin{align*} \dfrac{\partial f}{\partial\vec{u}}(0,0)&=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{1}{a^2+b^4t^2}\,\dfrac{\sin(at)^2}{(at)^2}\,\dfrac{(at)^{10/3}}{t^3}\\ &=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{1}{a^2+b^4t^2}\,\dfrac{\sin(at)^2}{(at)^2}\,a^{10/3}t^{1/3}=0, \end{align*}pois o primeiro fator tende a \(1/a^2\text{,}\) o segundo tende a \(1\) e o terceiro tende a \(0\text{.}\)
