Definição A.2.1.
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) e \(c\in\R\text{.}\) A curva de nível ou conjunto de nível do nível \(c\) de \(f\) é o conjunto
\begin{equation*}
f^{-1}(c)=\{(x,y)\in
A\colon f(x,y)=c\},
\end{equation*}
Seção A.2 Curvas de Nível
A curva de nível \(c\) é, em outras palavras, o conjunto de todos os pontos no domínio de \(f\text{,}\) onde esta vale \(c\text{.}\)
Exemplo A.2.2.
Determine as curvas nível da função \(f\colon\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=x^2+y^2\text{.}\)
Solução.
Começamos observando que o domínio de \(f\) é todo o \(\R^2\) e sua imagem é o conjunto dos reais não-negativos, indicado por \(\R_{\geq 0}\text{.}\) Isto posto notamos que, para todo \(c<0\text{,}\) temos \(f^{-1}(c)=\emptyset\text{.}\) Vejamos o que acontece com \(c\geq0\text{:}\)
- \(c=0\text{:}\) \(f(x,y)=0\iff x^2+y^2=0\iff (x,y)=(0,0)\text{;}\)
- \(c>0\text{:}\) \(f(x,y)=c\iff x^2+y^2=c\text{.}\) Neste caso, as soluções são exatamente pontos da circunferência de raio \(\sqrt{c}\text{,}\) centrada na origem.
Exemplo A.2.5.
Determine as curvas nível da função \(f\colon\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=y^2-x^2\text{.}\)
Solução.
Começamos observando que o domínio de \(f\) é todo o \(\R^2\) e sua imagem é o conjunto de todos os reais. Vejamos o que acontece com \(c\in\R\text{:}\)
- \(c<0\text{:}\) \(f(x,y)=c\iff y^2-x^2=c\iff\text{,}\) que descreve uma hipérbole com focos no eixo \(Ox\text{;}\)
- \(c=0\text{:}\) \(f(x,y)=0\iff y^2-x^2=0\text{,}\) que descreve o par de retas concorrentes \(y=x\) e \(y=-x\text{.}\)
- \(c>0\text{:}\) \(f(x,y)=c\iff y^2-x^2=c\iff\text{,}\) que descreve uma hipérbole com focos no eixo \(Oy\text{;}\)
Exemplo A.2.8.
Determine as curvas nível da função \(f\colon\R^2\to\R\) dada por \(f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2-y^2}\text{.}\)
Solução.
Aqui o domínio da função é o conjunto
\begin{equation*}
D_f=\big\{(x,y\in\R^2\colon x^2\neq y^2\big\}.
\end{equation*}
Isto significa obviamente, mas nunca é demais alertar que, os pontos das bissetrizes dos quadrantes não podem estar em nenhuma curva de nível da função deste exemplo. Com isso em mente temos que equação que define cada curva de nível é
\begin{equation}
\dfrac{x^2}{x^2-y^2}=c \iff (1-c)x^2+cy^2=0, y\neq\pm x.\tag{A.2.1}
\end{equation}
Separando em casos:
- \(c=1\text{:}\) A queação torna-se \(y^2=0\iff y=0\text{,}\) que é o eixo \(Ox\text{,}\) exceto a origem (restrição no domínio);
- \(c=0\text{:}\) A queação torna-se \(x^2=0\iff x=0\text{,}\) que é o eixo \(Oy\text{,}\) novamente excluindo-se a origem;
- \(0<c<1\text{:}\) os coeficiente de \(x^2\) e \(y^2\) são ambos positivos na equação (A.2.1), donde a única solução seria \((0,0)\text{,}\) que não pertence a \(D_f\text{,}\) isso mostra que a função não assume valores entre \(0\) e \(1\text{;}\)
- Para os demais valores de \(c\text{,}\) \(c< 0\) ou \(c>1\text{,}\) as soluções são retas concorrentes, exceto a origem.
