Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto \(P\) no final do barbante é chamada de involuta do círculo. Se o círculo tiver raio \(r\) e centro \(O\text{,}\) a posição inicial de \(P\) for \((r, 0)\text{,}\) e se o parâmetro \(\theta\) for escolhido como na Figura 1.2.1, mostre que as equações paramétricas da involuta são:
\begin{equation*}
x(\theta) = r
(\cos\theta+\theta\sin\theta)\qquad\text{e} \qquad y(\theta) =
r (\sin\theta-\theta\cos\theta).
\end{equation*}
Figura1.2.1.A involuta do círculo.
Figura1.2.2.Uma animação desta involuta.
Dica.
Procure triângulos retângulos semelhantes, um com a hipotenusa paralela a um dos eixos coordenados e o outro com com os catetos paralelos aos eixos. Com eles escreva essa hipotenusa e um dos catetos em termos de \(\theta\text{.}\)
Solução.
Seguido a dica, identificamos os triângulos \(\triangle
OAT\) e \(\triangle TBP\text{,}\) na figura abaixo:
Como os triângulos indicados são retângulos e os ângulos \(T\hat{O}A\) e \(B\hat{T}P\) são congruente e medem \(\theta\) (por que?), temos que \(B\hat{P}T\) mede \(\dfrac{\pi}{2}-\theta\text{.}\) Outra observação importante é que a medida do segmento \(\overline{PT}\) é a mesma do arco da circunferência relativo ao ângulo \(\theta\text{,}\) ou seja, \(m(PT)=r\theta\text{.}\)
Além disso, se escrevemos \(P(\theta)=\big(x(\theta),
y(\theta)\big)\text{,}\) é fácil ver que \(x(\theta)=m(OA)+m(BP)\) e \(y(\theta)=m(AT)-m(BT)\text{.}\)
