\begin{equation*}
C = \big\{
(x,y,z) \in \R^3\colon x^2+y^2=z\text{ e }z=2y\big\}.
\end{equation*}
Dica.
Substitua uma equação na outra e complete quadrados.
Resposta.
Uma parametrização é \(\gamma\colon\R\to\R^3\) dada por \(\gamma(t) = \big( \cos t, \sin t + 1 , 2 \sin t +
2\big)\text{.}\)
Solução.
Substituindo \(z=2y\) em \(z = x^2 + y^2\text{,}\) obtemos \(x^2 + y^2 - 2y = 0\text{.}\) Completando quadrados, encontramos \(x^2 + (y-1)^2 = 1\text{,}\) de modo que podemos escrever \(x =
\cos t\) e \(y-1 = \sin t\text{.}\) Desta forma, a curva \(\gamma\colon\R\to\R^3\) dada por
\begin{equation*}
\gamma(t) = \big( \cos
t, \sin t + 1 , 2 \sin t + 2\big)
\end{equation*}
Figura1.8.1.A interseção das duas superfícies em destaque.
Analise as coordenadas da paramentrização e veja como são as projeções da curva em cada plano coordenado. Note também que o intervalo da parametrização poderia ser \([0,2\pi]\text{,}\) que cobriria apenas "uma volta completa" na curva.
2.d.
Determine uma parametrização para a curva
\begin{equation*}
C = \big\{
(x,y,z)\in\R^3\colon x>0, x^2+y^2 -z^2= 4\text{ e
}z=x+y\big\}.
\end{equation*}
Dica.
Substitua uma equação na outra e lembre-se da condição \(x>0\text{.}\)
Resposta.
Uma parametrização é \(\gamma\colon]0,+\infty[\to\R^3\) dada por \(\gamma(t) =
\Big(t,-\dfrac{2}{t},\dfrac{t^2-2}{t}\Big)\text{.}\)
Solução.
Substituindo \(z=x+y\) em \(x^2 + y^2 - z^2 =4\text{,}\) obtemos
