Seção A.5 Derivadas de Segunda Ordem
Apresentamos aqui uma rápida recapitulação do que são as derivadas parciais de segunda ordem e o resultado principal sobre elas, que é o teorema de Schwarz.
Se \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) é uma função que admite derivadas parciais em cada ponto \((x_0,y_0)\in A\text{,}\) podemos então considerar as funções
\begin{align*}
f_x\colon A\subseteq\R^2&\longrightarrow\R\\
\hfill (x,y)& \longmapsto f_x(x,y);\\
f_y\colon A\subseteq\R^2&\longrightarrow\R\\
(x,y)&\longmapsto f_y(x,y).
\end{align*}
Naturalmente, podemos nos perguntar sobre as derivadas parciais destas duas funções acima:
Definição A.5.1. (Derivadas de segunda ordem).
Sejam
\(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função e
\((x_0,y_0)\) um ponto no
interior 1 de
\(A\text{.}\) As
derivadas parciais de segunda ordem de
\(f\) em
\((x_0,y_0)\) são dadas por
\begin{align*}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial
x^2}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial}{\partial x}\Big(\dfrac{\partial
f}{\partial x}\big)(x_0,y_0)&=\lim\limits_{h\to
0}\dfrac{f_x(x_0+h,y_0)-f_x(x_0,y_0)}{h};\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial
y\partial x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial}{\partial y}\Big(\dfrac{\partial
f}{\partial x}\big)(x_0,y_0)&=\lim\limits_{k\to
0}\dfrac{f_x(x_0,y_0+k)-f_x(x_0,y_0)}{k};\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial
x\partial y}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial}{\partial x}\Big(\dfrac{\partial
f}{\partial y}\big)(x_0,y_0)&=\lim\limits_{h\to
0}\dfrac{f_y(x_0+h,y_0)-f_y(x_0,y_0)}{h};\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial
y^2}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial}{\partial y}\Big(\dfrac{\partial
f}{\partial y}\big)(x_0,y_0)&=\lim\limits_{k\to
0}\dfrac{f_y(x_0,y_0+k)-f_y(x_0,y_0)}{k}.
\end{align*}
Com a obervação acima é de se esperar que não haja nenhuma relação entre os valores das duas derivadas mistas de uma função no mesmo ponto. Eventualmente uma delas pode existir e a outra nem isso!
Exemplo A.5.5.
Seja \(f(x,y)=x^3-3xy+5x^2y^4+3\text{.}\) Calculemos as derivadas mistas de segunda ordem:
\begin{align*}
f_x(x,y)&=3x^2-3y+10xy^4\implies
f_{xy}(x,y)=-3+40xy^3;\\
f_y(x,y)&=-3x+20x^2y^3\implies
f_{yx}(x,y)=-3+40xy^3,
\end{align*}
ou seja, as derivadas mistas são iguais em cada ponto!
Sorte? Provavelmente sim, já que o
Exercício 1.5.14, mostra que nem sempre isso acontece. Vamos estabelecer uma nomenclatura utilizada no resultado que garante condições suficientes para que as derivadas mistas coincidam em cada ponto.
Definição A.5.6. (Funções de classe \(\mathscr{C}^k\)).
Sejam \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) uma função e \((x_0,y_0)\) um ponto no interior de \(A\text{.}\) Dizemos que \(f\) é de classe \(\mathscr{C}^k\) em \((x_0,y_0)\) se todas as derivadas parciais de ordem até \(k\) são contínuas em \((x_0,y_0)\text{.}\)
Temos então o
Teorema A.5.7. (Schwarz).
Se \(f\colon A\subseteq\R^2\to\R\) é uma função de classe \(\mathscr{C}^2\) em \((x_0,y_0)\text{,}\) então \(f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)\text{.}\)
Demonstração.
Seguindo diretamente das definições, temos
\begin{align*}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial
x}(x_0,y_0)
&=\lim\limits_{k\to
0}\dfrac{f_x(x_0,y_0+k)-f_x(x_0,y_0)}{k}\\
&=\lim\limits_{k\to
0}\dfrac{\lim\limits_{h\to
0}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)}{h}-\lim\limits_{h\to
0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}}{k}\\
&=\lim\limits_{k\to 0}\lim\limits_{h\to 0}
\dfrac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)+f(x_0,y_0)}{hk}\\
&=\lim\limits_{k\to 0}\lim\limits_{h\to 0}
\dfrac{\psi(y_0+k)-\psi(y_0)}{hk}\stackrel{(\ast)}{=},
\end{align*}
onde \(\psi(y)=f(x_0+h,y)-f(x_0,y)\) é uma função derivável. Para cada \(k\) fixado, aplicando o TVM temos que
\begin{equation*}
\psi(y_0+k)-\psi(y_0)=\psi'(\overline{y})k=\big(f_y(x_0+h,\overline{y})
-f_y(x_0,\overline{y})\big)k.
\end{equation*}
Voltando no limite acima, temos
\begin{align*}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial
x}(x_0,y_0)
&\stackrel{(\ast)}{=}\lim\limits_{k\to 0}\lim\limits_{h\to 0}
\dfrac{\big(f_y(x_0+h,\overline{y})
-f_y(x_0,\overline{y})\big)k}{hk}\\
&=\lim\limits_{k\to
0}\lim\limits_{h\to 0}
\dfrac{f_y(x_0+h,\overline{y})
-f_y(x_0,\overline{y})}{h}\\
&=\lim\limits_{k\to
0}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial
y}(x_0,\overline{y})=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial
y}(x_0,y_0),
\end{align*}
pois, por hipótese, \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\) é contínua em \((x_0,y_0)\text{.}\)
O exemplo a seguir mostra que a recíproca do Teorema de Schwarz é falsa.
Exemplo A.5.8.
A função \(f(x,y)=\begin{cases}
(x^2+y^2)^2\sin\Big(\dfrac{1}{x^2+y^2}\Big),&(x,y)\neq (0,0);\\
\hfill 0,& (x,y)=(0,0)\end{cases}\) é uma função de classe \(\mathscr{C}^1\) em \((0,0)\text{,}\) satisfaz \(f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)\text{,}\) mas não é de classe \(\mathscr{C}^2\) em \((0,0)\text{.}\)
Calculando pelas regras de derivação e pela definição onde for pertinente, temos
\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)
&=\begin{cases}4x(x^2+y^2)\sin\Big(\dfrac{1}{x^2+y^2}\Big)-
2x\cos\Big(\dfrac{1}{x^2+y^2}\Big),&(x,y)\neq
(0,0);\\ \hfill 0,& (x,y)=(0,0)\end{cases};\\
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)
&=\begin{cases}4y(x^2+y^2)\sin\Big(\dfrac{1}{x^2+y^2}\Big)-
2y\cos\Big(\dfrac{1}{x^2+y^2}\Big),&(x,y)\neq
(0,0);\\ \hfill 0,& (x,y)=(0,0)\end{cases}.
\end{align*}
É relativamente imediato verificar a continuidade das funções acima e portanto que é uma função de classe \(\mathscr{C}^1\) em \((0,0)\text{.}\)
Calculando uma das derivadas mistas na origem, temos
\begin{align*}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(0,0)
&=\lim\limits_{k\to 0}\dfrac{f_x(0,0+k)-f_x(0,0)}{k}=0;\\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)
&=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f_y(0+h,0)-f_y(0,0)}{h}=0;
\end{align*}
Finalmente, escrevemos a derivada segunda \(f_yx(x,y)\) para analisar sua continuidade.
\begin{equation*}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial
y\partial x}(x,y)= \begin{cases}
8xy-\dfrac{4xy}{(x^2+y^2)^2}\sin\Big(\dfrac{1}{x^2+y^2}\Big),&(x,y)\neq
(0,0);\\ \hfill 0,& (x,y)=(0,0) \end{cases},
\end{equation*}
onde é relativamente fácil ver que a segunda parcela não tem limite na origem, enquanto a primeira tende a \(0\text{,}\) mostrando que \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\) não tem limite em \((0,0)\text{,}\) logo não pode ser contínua ali.
Com um pouco de imaginação você consegue generalizar as definições e resultados aqui apresentados para funções com mais de duas variáveis e também para derivadas de ordem \(k> 2\text{.}\)
